Como você abordaria a correção de problemas de estilo específicos de navegador?

Depois de identificar o problema e o navegador problemático, use uma folha de estilo separada que só é carregada quando aquele navegador específico está sendo usado. Essa técnica requer renderização do lado do servidor.
Use bibliotecas como Bootstrap que já lidam com esses problemas de estilo para você.
Use o autoprefixer para adicionar automaticamente prefixos de vendors ao seu código.
Use Reset CSS or Normalize.css.
Se você estiver usando o PostCSS (ou uma biblioteca semelhante de transpilação CSS), pode haver plugins que permitam que você opte por usar a sintaxe CSS moderna (e até mesmo as propostas W3C) que transformará aquelas seções do seu código em código compatível com versões anteriores que funcionarão nos destinos que você definiu.