Quais são as vantagens e desvantagens de usar o Ajax?

Vantagens

Melhor interatividade. O novo conteúdo do servidor pode ser alterado dinamicamente sem a necessidade de recarregar a página inteira.
Reduzir conexões para o servidor, pois scripts e folhas de estilo só precisam ser solicitados uma vez.
O State pode ser mantido em uma página. As variáveis do JavaScript e o estado do DOM persistirão porque a página principal do contêiner não foi recarregada.
Basicamente, a maioria das vantagens de um SPA.

Páginas dinâmicas da web são mais difíceis de favoritar.
Não funciona se o JavaScript foi desativado no navegador.
Alguns rastreadores web não executam JavaScript e não veem o conteúdo que foi carregado pelo JavaScript.
Páginas web que usam Ajax para buscar dados provavelmente terão que combinar os dados remotos com modelos do lado cliente para atualizar o DOM. Para que isso aconteça, o JavaScript terá que ser analisado e executado no navegador, e dispositivos móveis de baixo custo podem ter problemas com isso.
Basicamente, a maioria das vantagens de um SPA.